Modellierung reduzierter Ordnung von Soft

Datum: 2. Dezember 2022

Autoren: Linus Andersson, Marcin Kozłowski, Peter Persson, Per-Erik Austrell und Kent Persson

Quelle: Ingenieurbauwerke 256 (2022) 113988 | DOI: https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2022.113988

In der Arbeit werden Strategien zur Modellierung reduzierter Ordnung von Glasscheiben, die einem Weichkörperstoß ausgesetzt sind, mittels dynamischer Substrukturierung entwickelt. Ziel ist es, genaue und recheneffiziente Modelle zur Vorhersage der elastischen Reaktion vor dem Ausfall zu erhalten. Genauer gesagt wird mithilfe von Korrekturmodi, bei denen es sich um Komponentenmodi mit fester Schnittstelle handelt, die die Belastung an der Unterstrukturgrenze berücksichtigen, eine Reduktionsbasis für das die Glasscheibe darstellende Subsystem erstellt. Der Weichkörperimpaktor wird effektiv durch ein nichtlineares System mit einem Freiheitsgrad modelliert, das durch experimentelle Daten kalibriert wird. Darüber hinaus wird ein vereinfachter und recheneffizienter Modellierungsansatz für die Kontaktwechselwirkung zwischen der Glasscheibe und dem Aufprallkörper vorgeschlagen.

Zur Validierung der entwickelten Modelle wurde eine experimentelle Kampagne durchgeführt. Insbesondere wurde die Glasdehnung an einfach unterstützten monolithischen Glasplatten gemessen, die einem Weichkörperstoß ausgesetzt waren. Zusätzliche Aufpralltests wurden durchgeführt, um die dynamischen Eigenschaften des Impaktors zu bestimmen. Darüber hinaus wurde ein detailliertes numerisches Referenzmodell entwickelt, um die Diskrepanz zwischen den experimentellen Tests und den Ergebnissen der Modelle reduzierter Ordnung zu bewerten. Die entwickelten Modelle zeigen eine gute Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen. Für die untersuchten Lastfälle wird gezeigt, dass eine genaue Vorhersage der Glasdehnung vor dem Versagen durch Systeme erhalten werden kann, die nur wenige verallgemeinerte Freiheitsgrade umfassen.

In den letzten Jahrzehnten ist Glas zu einem immer häufiger vorkommenden Baumaterial in der modernen Architektur geworden. Glas wird nicht nur für Gebäudehüllen und lichtdurchlässige Fassaden verwendet, die Sonnenlicht in das Gebäude lassen, sondern auch in tragenden Konstruktionen und verglasten Barrieren, wie zum Beispiel raumhohen Fassaden und Brüstungen für Balkone oder Niveauunterschiede im Innenbereich.

Wenn die Glasbarriere ein Sicherheitsrisiko für Gebäudenutzer darstellt, schreiben die Bauvorschriften in den meisten Ländern vor, dass die Verglasung so konstruiert sein muss, dass sie unbeabsichtigten Stößen durch Menschen standhält. Anschließend ist eine dynamische Überprüfung erforderlich, die in der Regel durch experimentelle Tests mit dem genormten Weichkörperpendel zur Glasklassifizierung gemäß der europäischen Norm EN 12600 [1] erfolgt. Die in Abb. 1 dargestellte Versuchsanordnung zur Glasklassifizierung besteht aus einer in einem Stahlrahmen befestigten Glasscheibe und einem weichen Prallkörper auf einem Pendel, der einen auf die Glasscheibe fallenden menschlichen Körper darstellt. Daher wird von einem Weichkörperaufprall ausgegangen, bei dem sich der Aufprallkörper unter dem Aufprall verformt und so die Aufpralllast neu verteilt.

Schlagprüfungen können insbesondere bei großen und komplexen Glasstrukturen sehr kostspielig sein. Darüber hinaus kann es schwierig sein, eine Testanordnung einzurichten, die das strukturelle Verhalten der zugrunde liegenden tragenden Struktur genau erfasst. Darüber hinaus kann eine strukturelle Überprüfung mithilfe von Tests an der realen Struktur sowohl kostspielig sein als auch eine Neukonstruktion der bestehenden Struktur erfordern, wenn sich herausstellt, dass die Tragfähigkeit nicht ausreicht. Daher kann es sinnvoll sein, die Verifizierung stattdessen mittels dynamischer Berechnungsmethoden durchzuführen.

Neben reduzierten Kosten und der Möglichkeit, verschiedene Designkonzepte einfach zu bewerten, ermöglichen numerische Analysen einen besseren Einblick in das Strukturverhalten und eine zusätzliche Kontrolle beispielsweise von Struktur- und Materialparametern. Bei einem physikalischen Schlagversuch können die Materialparameter jedoch je nach Glasprobe variieren, weshalb mehrere Tests erforderlich sind, um statistische Schwankungen ausreichend zu berücksichtigen. Die Gültigkeit numerischer Simulationen zur Festigkeitsbewertung von Glasstrukturen wurde von mehreren Forschern gezeigt, siehe z. B. [2], [3], [4], [5].

Statische Lastfälle werden häufig mit einer kommerziellen Finite-Elemente-Software (FE) überprüft. Zu diesem Zweck wurde am Department of Construction Science der Universität Lund ein spezielles FE-Tool ClearSight [6] entwickelt, das für eine interaktive und effiziente Überprüfung von Glasscheiben unter statischen Lastfällen optimiert ist. Die Verwendung einer FE-Analyse zur Berechnung der dynamischen Reaktion aufgrund eines Aufpralls kann jedoch zeitaufwändig und rechenintensiv sein. Im Allgemeinen ist eine nichtlineare transiente Antwortanalyse erforderlich, und das FE-Modell sollte die Glasscheibe und ihre Befestigungen, den Impaktor und eine geeignete Beschreibung der Kontaktwechselwirkung zwischen dem Impaktor und der Glasstruktur umfassen. Das Einrichten und Durchführen einer solchen Analyse kann zeitaufwändig sein und erfordert häufig eine relativ fortschrittliche FE-Software und umfassende Benutzerkenntnisse.

Um einen zeiteffizienteren und einfacheren Ansatz zur Bewertung dynamischer Lastfälle zu ermöglichen, wurden von mehreren Forschern reduzierte Modellierungstechniken speziell für Glasscheiben unter Stoßbelastung vorgeschlagen, siehe z. B. [7], [8], [9], [10]. ], [11], [12], [13], [14]. Beispielsweise wurden in [7] Reduktionsbasen erfolgreich unter Verwendung vordefinierter Lastmuster konstruiert, die für die reduzierte Modellierung von Glasplatten im Rayleigh-Ritz-Stil eingesetzt wurden. In [8] wurden verschiedene reduzierte Modelle von freitragenden Glasscheiben untersucht, die einem Aufprall mit geringer Geschwindigkeit ausgesetzt waren. Beispielsweise wurde ein Feder-Masse-Modell mit drei Freiheitsgraden (DOF) vorgeschlagen, das durch Kalibrierung der Systemmatrizen auf die Dehnungsenergien und Eigenfrequenzen der grundlegenden Biegemodi einer Glasplatte im Frei-Frei-Zustand erstellt wurde. Somit werden die Modenformen implizit zur Identifizierung von Eigenfrequenzen und Energien verwendet, die dann in einem zweiten Schritt zur Kalibrierung der Lumped-Mass-Systeme verwendet werden.

Darüber hinaus wurde ein konzentriertes Massenmodell basierend auf dem Hertzschen Kontaktgesetz (siehe z. B. [15]) zur Modellierung des Impaktors vorgeschlagen. Allerdings wurden die in [8] untersuchten Niedergeschwindigkeitsstöße mit einem speziellen kugelförmigen Impaktor erzeugt, der sich besonders für die Annäherung anhand des Hertz-Gesetzes eignet. Darüber hinaus wurden die reduzierten Modelle erfolgreich durch experimentelle Studien validiert, was darauf hindeutet, dass die Bedeutung von Moden höherer Ordnung bei größeren Glasplatten und einem steiferen Impaktor zunimmt. In [10] wurde ein nichtlineares SDOF-Modell zur Modellierung des Impaktors mit einer Federkraft vorgeschlagen, die als quadratisches Polynom ausgedrückt wird. Darüber hinaus wurde der Kontakt zwischen den Impaktorreifen und der Glasscheibe modelliert, indem eine gleichmäßige Kontaktspannung angenommen wurde, die auf eine Kontaktfläche mit einer vordefinierten elliptischen Form ausgeübt wurde, wobei die Größe durch die Verschiebung der Impaktorfeder variabel war.

Dieses Impaktormodell wurde auch im kommerziellen Finite-Elemente-Paket SJ Mepla [16] implementiert, wo es typischerweise mit einer Glasstruktur zusammengebaut wird, die durch Schalenelemente unter Berücksichtigung der Theorie großer Durchbiegungen dargestellt wird. Eine Reduzierung auf der Ebene der Glasunterkonstruktion ist jedoch nicht möglich. In [11] wird ein vereinfachtes Ingenieurmodell auf Basis äquivalenter statischer Belastungen vorgestellt, das einen sehr schnellen und unkomplizierten Nachweis der Stoßbelastung ermöglicht. Da jedoch die Reaktion von Moden höherer Ordnung vernachlässigt wird, ist sie nur für zwei- und vierseitige rechteckige, durchgehend gestützte Glasplatten innerhalb eines begrenzten Dimensionsbereichs anwendbar.

In der vorliegenden Arbeit werden Strategien zur reduzierten Modellierung des Weichkörperaufpralls auf Glasplatten mittels dynamischer Substrukturierung (DS) entwickelt. Ziel ist es, eine genaue Vorhersage der elastischen Reaktion vor dem Ausfall zu erreichen und gleichzeitig den Rechenaufwand deutlich zu reduzieren. Genauer gesagt wird eine Reduktionsbasis für das Subsystem, das die Glasscheibe darstellt, mithilfe von Korrekturmodi erstellt, wobei es sich um Komponentenmodi mit fester Schnittstelle handelt, die die Belastung auf die Unterstrukturgrenze berücksichtigen [17], [18]. Da bei der Ableitung Informationen zum Belastungsmuster berücksichtigt werden, werden alle generierten Korrekturmodi per Definition durch die aufgebrachte Last angeregt. Im Gegensatz dazu kann eine mithilfe von Eigenmoden erstellte reduzierte Basis redundante Moden enthalten, z. B. antisymmetrische Moden, die nicht durch einen zentrischen Stoß angeregt werden können. Der weiche Aufprallkörper wird effektiv durch ein nichtlineares viskoses SDOF-System (Single-Degree-of-Freedom) modelliert, das durch experimentelle Daten kalibriert wird.

Darüber hinaus wird ein vereinfachter und recheneffizienter Modellierungsansatz unter der Annahme einer konstanten Kontaktfläche zur Modellierung der Kontaktwechselwirkung zwischen der Glasscheibe und dem Aufprallkörper verwendet. Die entwickelten Modelle reduzierter Ordnung sind für die Analyse von Glasscheiben mit verschiedenen Trägerkonfigurationen gedacht. Da jedoch eine lineare Reaktion für die Glasunterstruktur angenommen wird, werden Effekte zweiter Ordnung (z. B. aufgrund der Membranwirkung) nicht berücksichtigt. Somit eignen sich die vorgeschlagenen Modelle für die Analyse von Glaspaneelen, bei denen die Reaktion leicht durch Effekte zweiter Ordnung beeinflusst wird oder bei denen eine angenommene lineare Reaktion der Glasstruktur zu einem einigermaßen konservativen Design führt.

Zur Validierung der entwickelten Modelle wurde eine experimentelle Kampagne durchgeführt. Insbesondere wurde die Glasdehnung an einfach gelagerten monolithischen Glasplatten gemessen, die einer Stoßbelastung ausgesetzt waren. Der Testaufbau ähnelte dem in EN 12600 [1] beschriebenen standardisierten Schlagtest zur Glasklassifizierung – die Glasscheiben wurden in einem Stahlrahmen montiert und Stoßbelastungen wurden durch Auslösen des standardisierten EN 12600-Impaktors aus verschiedenen Fallhöhen erzeugt. Zusätzliche Aufpralltests an einer sehr steifen Stahlsäule (die als starr galt) wurden ebenfalls durchgeführt, um die dynamischen Eigenschaften des Impaktors zu bestimmen. Die Versuchsanordnung und der in der Versuchskampagne eingesetzte standardisierte Impaktor sind in Abb. 2 dargestellt.

Um die Unterschiede zwischen der gemessenen Glasdehnung und der durch die reduzierten Modelle bereitgestellten Dehnung zu bewerten, wurde mit der kommerziellen FE-Software Abaqus ein detailliertes FE-Modell, hier als Referenzmodell bezeichnet, erstellt [19]. Das Referenzmodell umfasst eine Strafkontaktformulierung zur Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen dem Impaktor und der Glasscheibe, geometrische Nichtlinearität, hyperelastische Materialmodelle für Gummi und eine ausgefeilte Modellierung des Reifenluftdrucks mit dem Ziel, die Aufpralltests nachzuahmen. Die Bewertung der Abweichung zwischen der mit den reduzierten Modellen berechneten Antwort, dem Referenzmodell und den experimentellen Tests ermöglicht es, zwischen Fehlern im Zusammenhang mit Modellierungsabstraktionen und -vereinfachungen, die in den reduzierten Modellen verwendet werden, und anderen, unbekannten Fehlerquellen zu unterscheiden.

Zusammenfassend besteht das Ziel des Papiers darin:

Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut. In Abschnitt 2 werden reduzierte Modellierungskonzepte zur Simulation des Aufpralls weicher Körper vorgestellt, einschließlich Techniken zur reduzierten Modellierung des Impaktors, der Glasscheibe und der Kontaktwechselwirkung. In Abschnitt 3 wird ein detailliertes FE-Modell des standardisierten Impaktors vorgestellt, das hier als Referenzmodell bezeichnet wird und zur Kalibrierung sowie Validierung der reduzierten Modelle verwendet wird. Experimentelle Tests werden in Abschnitt 4 vorgestellt und besprochen – beide Experimente umfassen Tests von Glasplatten, die einem Weichkörperaufprall ausgesetzt sind, sowie Tests zur Charakterisierung der dynamischen Eigenschaften des Impaktors. In Abschnitt 5 werden Kalibrierungen der Impaktormodelle sowie eine Validierung der zusammengesetzten reduzierten Modelle vorgestellt, sowohl durch Vergleich mit experimentellen Ergebnissen als auch mit der mit dem numerischen Referenzmodell berechneten Reaktion. Abschließend werden die Ergebnisse in Abschnitt 6 diskutiert und die Schlussfolgerungen in Abschnitt 7 präsentiert.

Beim Aufprall kommt es zu einem Kontakt zwischen der Glasscheibe und dem Impaktor. Somit entsteht ein gekoppeltes System bestehend aus der Glasstruktur und dem Aufprallkörper. Glas ist ein sprödes Material, das vor dem Versagen im Wesentlichen linear elastisch ist [20]. Wenn also die geometrische Nichtlinearität vernachlässigt wird, kann die strukturelle Reaktion monolithischer Glasscheiben vor dem Ausfall durch ein lineares Modell genau dargestellt werden. Es ist jedoch zu beachten, dass in manchen Anwendungen der Einfluss von Effekten zweiter Ordnung von erheblicher Bedeutung sein kann. In solchen Fällen ist für eine genaue Vorhersage der Glasdehnung ein nichtlineares Modell erforderlich, das die Glasunterstruktur darstellt. Beispielsweise zeigt die in [7] vorgestellte Untersuchung, dass der Einfluss von Effekten zweiter Ordnung (dh Membranwirkung) für vierseitige, durchgehend gestützte Glasscheiben von Bedeutung ist.

Darüber hinaus deuten die Untersuchungen darauf hin, dass die Glasdehnung überschätzt wird, wenn Effekte zweiter Ordnung vernachlässigt werden. Eine lineare Darstellung der Glasscheibe kann daher geeignet sein, wenn die Reaktion nur geringfügig durch Effekte zweiter Ordnung beeinflusst wird oder möglicherweise in Anwendungen, bei denen eine angenommene lineare Reaktion zu einem einigermaßen konservativen Design führt. Möglicherweise ist jedoch immer noch ein nichtlineares Modell erforderlich, um die Kontaktwechselwirkung zwischen dem weichen Aufprallkörper und der Glasscheibe sowie das nichtlineare Verhalten der Luftreifen richtig zu beschreiben. Bei solchen Modellen kann das gekoppelte System mithilfe von DS reduziert werden, was eine Reduzierung der linearen Glasunterkonstruktion unter Beibehaltung der physikalischen DOFs ermöglicht, die mit dem weichen Aufprallkörper interagieren.

Seit Ende der 1960er Jahre wurden mehrere DS-Methoden entwickelt, ausführliche Übersichten finden sich in [21], [22], [23]. Wir basieren unseren Ansatz auf der Craig-Bampton-Methode (CB) [24], die die physikalischen Grenz-DOFs der Unterstrukturen beibehält. Anstatt jedoch die Normalmodi mit fester Schnittstelle zu verwenden, die in der Standard-CB-Methode verwendet werden, wird eine Reduktionsbasis für die Glasunterstruktur mithilfe von Korrekturmodi erstellt, die die Belastung auf die Unterstrukturgrenze berücksichtigen, siehe weiter Abschnitt 2.1. Darüber hinaus wird der Impaktor effektiv als nichtlineares System mit einem Freiheitsgrad (SDOF) modelliert, siehe Abschnitt 2.2.

Die Unterteilung des gekoppelten Glas-Impaktor-Systems in Unterstrukturen ist in Abb. 3 dargestellt. Wie in Abschnitt 2.3 näher erläutert, wird eine Grenzflächenreduzierung angewendet, sodass nur ein virtueller Grenz-DOF für die Glasunterstruktur erhalten bleibt, der einer gewichteten mittleren Vertikale entspricht Verschiebung einer Gruppe von Knoten, von denen angenommen wird, dass sie mit den Impaktorreifen in Kontakt stehen (siehe Abb. 3). Die reduzierten Unterstrukturen werden in standardisierter Weise zu einem reduzierten Modell des gekoppelten Systems zusammengesetzt. Strategien zur Berechnung der dynamischen Reaktion des zusammengesetzten Systems werden in Abschnitt 2.4 weiter diskutiert.

2.1. Modellierung reduzierter Ordnung von Glasscheiben

Eine Reduzierung eines Systems einschließlich lokaler Nichtlinearitäten, wie etwa des gekoppelten Glas-Impaktor-Systems, erfordert eine DS-Technik, die die physikalischen Grenz-DOFs beibehält. Geeignete Methoden sind beispielsweise die Standard-CB-Methode [24] oder die MacNeal/Rubin-Ansätze [25], [26], die den Normalmodus mit fester bzw. freier Schnittstelle verwenden. Die bevorzugte Methode kann sowohl auf Genauigkeit als auch auf Recheneffizienz zurückzuführen sein, wobei wiederum sowohl der Rechenaufwand für die Festlegung der Reduktionsbasis als auch die Anzahl der im endgültigen System erforderlichen Variablen berücksichtigt werden.

In der vorliegenden Studie wird eine DS-Methode zur Reduzierung der Glasscheibe verwendet, die Korrekturmodi mit festen Schnittstellen verwendet. Dieser Ansatz wurde erstmals in [17] vorgeschlagen und später in [18] erweitert, um eine gemischte Verwendung von Normalmodi und Korrekturmodi zu ermöglichen ( Diese Methode wurde auch in [27] zur Erstellung reduzierter Modelle von Betonrahmenkonstruktionen eingesetzt, bei denen plastische Verbindungen als lokale Nichtlinearitäten behandelt wurden. Für das Glas-Impaktor-System erweist sich diese Art der Reduktionsbasis sowohl hinsichtlich der Systemgröße als auch hinsichtlich des Rechenaufwands im Zusammenhang mit der Berechnung der Reduktionsbasisvektoren als günstig. Wie in der folgenden Ableitung gezeigt, werden die Korrekturmodi durch eine Folge von Matrix-Vektor-Multiplikationen erzeugt, während die Normalmodi mit fester oder freier Schnittstelle durch Lösen eines Eigenwertproblems berechnet werden.

Darüber hinaus werden bei der Ableitung der Korrekturmodi Informationen im Zusammenhang mit der Belastung der Unterstrukturgrenzen berücksichtigt. Folglich werden redundante Modi, die nicht durch auf die Unterstrukturgrenze wirkende Lasten angeregt werden können, automatisch ausgeschlossen. Reduktionsbasen einschließlich Korrekturmodi, auch als Block-Krylov-Unterräume bezeichnet, können auf verschiedene Arten abgeleitet werden. In Anlehnung an Rixen in [18], jedoch unter Ausschluss der Normalmodi mit fester Schnittstelle in der Reduktionsbasis, lautet die Ableitung wie folgt.

Unter Vernachlässigung der Dämpfung kann die Bewegungsgleichung für die Glasunterkonstruktion in geteilter Form wie folgt geschrieben werden:

wobei die Indizes i und b die inneren bzw. Grenz-DOFs bezeichnen (die Anzahl der inneren und Grenz-DOFs wird im Folgenden mit ni bzw. nb bezeichnet, und die Gesamtzahl der DOFs beträgt somit n=ni+nb). Beachten Sie, dass in diesem Fall der virtuelle DOF, der mit dem Impaktormodell interagiert, als Schnittstellen-DOF ausgewählt wird (vgl. Abb. 3). Wenn außerdem die äußeren Kräfte auf die inneren Freiheitsgrade Null sind, ist die obere Zeile von Gl. (1) kann umgeschrieben werden als:

Daher kann davon ausgegangen werden, dass die Unterstruktur durch auferlegte Verschiebungen an ihrer Grenze angeregt wird. Darüber hinaus können die internen Verschiebungen in einen statischen Anteil und eine dynamische Korrektur aufgeteilt werden

Woui, stat = −Kii⁻¹Kibu b ist die quasistatische Lösung, erhalten aus Gl. (2) vorausgesetztüIch undü b sind Null. Der dynamische Teil,j , wird zur quasistatischen Lösung hinzugefügt, um die dynamische Reaktion bereitzustellen. Durch Einfügen von Gl. (3) in Gl. (2) und die Neuordnung der Begriffe, die dynamische Reaktion vonjkann ausgedrückt werden als

WoY=MiiKii⁻¹Kib−M ib kann als mit statischen Moden verbundene Trägheitskräfte interpretiert werden [18]. Somit bestimmt die Beschleunigung der Grenz-DOFs, der Modenformen und der Massenverteilung die in Gleichung (1) angewendeten Kräfte. (4). Dieser Vorgang kann durch Ersetzen fortgesetzt werdenjmit einer quasistatischen Lösung und einer dynamischen Korrekturz:

Wojstat=Kii⁻¹Yu b ist die statische Lösung, die aus Gl. (4), vorausgesetztÿ ist Null. Durch Einfügen von Gl. (5) in Gl. (4) und die Neuordnung der Begriffe, die dynamische Reaktion vonzkann ausgedrückt werden als

Somit ist die Reaktion der inneren Verschiebungen durch eine Folge quasistatischer Lösungen gegeben:

wo, in ähnlicher Weise,

ist die quasistatische Lösung von Gl. (6). Somit wird ein rekursives Verfahren erhalten, was darauf hinweist, dass die dynamische Reaktion wie folgt angenähert werden kann

wobei l die Anzahl der statischen Korrekturen ist. Darüber hinaus die Derivate höherer Ordnung

können als separate DOFs behandelt werden. Anstatt also eine Folge statischer Korrekturen zu berechnen, wird eine dynamische Antwortanalyse mithilfe verallgemeinerter Koordinaten durchgeführt, die die Amplituden der Korrekturmodi darstellen. Der Satz der Korrekturmodi j-ter Ordnung ist dann gegeben durch:

WoX cor,j ist eine ni×nb-Matrix, die die in Iteration j generierten Korrekturmodi enthält. Beachten Sie, dass jeder Korrekturmodus einem Grenz-DOF zugeordnet ist. Folglich führt eine große Anzahl von Grenz-DOFs dazu, dass in jeder Iteration eine große Anzahl von Korrekturmodi generiert wird, weshalb diese Methode am besten in Kombination mit einer Schnittstellenreduktionstechnik verwendet wird (siehe weiter Abschnitt 2.3).

Um numerische Rundungsfehler zu vermeiden, werden die Korrekturmodi mithilfe des modifizierten Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahrens generiert [28], [29]. Darüber hinaus sind die statischen Korrekturmodi nicht zueinander orthogonal zu Masse und Steifigkeit. Dies kann beispielsweise durch die Lösung eines kleinen Eigenwertproblems erreicht werden:

WoXi,cor=Xkor,₁Xkor,₂…Xcor,l ist die ni×k-Korrekturmodusmatrix,List eine Diagonalmatrix mit Pseudofrequenzen undZenthält die entsprechenden Eigenvektoren, die so normalisiert sind, dass

.

Eine orthonormale Basis der Korrekturmodi wird dann bereitgestellt von

,

und die Beziehung zwischen den physikalischen DOFs der Unterstruktur und den verallgemeinerten KoordinatenQist gegeben durch

WoQk sind die Amplituden der (orthonormalen) Korrekturmodi undPsib=−Kii⁻¹K ib ist der interne Teil der Einschränkungsmodi, der der statischen Verschiebung einer Einheitsverschiebung auf einem Randknoten entspricht, während die anderen Randknoten festgehalten werden. Unter Verwendung der Transformation nach Gl. (11) werden die reduzierten Systemgleichungen für die Glasunterstruktur mittels Unterraumprojektion auf übliche Weise erhalten (siehe z. B. [23]), d. h

Wo

Hier,M,CUndKsind die nichtreduzierten n×n-Systemmatrizen undF ist ein×1 externer Kraftvektor. Damit dieses Verfahren sinnvoll ist, sollte die Reduktionsbasis außerdem unter Verwendung eines reduzierten Satzes verallgemeinerter Koordinaten, dh k≪n, erstellt werden.

Beachten Sie, dass die erzeugten Korrekturmodi tatsächlich eine Krylov-Sequenz bilden [28], weshalb diese auch als Krylov-Modi bezeichnet werden. Wie durch Gl. (9) können die Moden durch Matrix-Vektor-Multiplikationen erzeugt werden. Darüber hinaus sind die erzeugten Moden, wie oben abgeleitet, kraftabhängig in dem Sinne, dass die Unterstruktur durch auferlegte Verschiebungen an ihrer Grenze als belastet betrachtet wird.

Ein Beispiel ist in Abb. 4 dargestellt, das den Beschränkungsmodus und die ersten drei Normalmodi mit fester Schnittstelle für eine einfach unterstützte 1000 mm × 800 mm große Glasscheibe zeigt. Darüber hinaus zeigt Abb. 5 den Einschränkungsmodus und die ersten drei Korrekturmodi. Es wird ein Grenz-DOF berücksichtigt, der der Richtung außerhalb der Ebene für den in Abb. 3 gezeigten virtuellen Knoten entspricht. Wie in Abb. 4 gezeigt, sind zwei der Normalmoden mit fester Schnittstelle antisymmetrisch und können nicht durch a angeregt werden vertikale Kraft, die in der Mitte des Paneels ausgeübt wird. Im Gegenteil, alle Korrekturmodi werden per Definition angeregt.

2.2. Modellierung des Impaktors reduzierter Ordnung

Der genormte Schlagkörper, beschrieben in EN 12600 [1], besteht aus zwei Gummiluftreifen und Stahlgewichten, wie in Abb. 2b dargestellt. Die Masse des Impaktors ist fast vollständig auf zwei starre Körper (dh die Stahlgewichte) konzentriert, die symmetrisch um den Schwerpunkt des Impaktors positioniert sind. Folglich kann der Impaktor bei Kontakt mit der Glasscheibe durch ein verallgemeinertes SDOF-System gut dargestellt werden. Daher wird die Impaktormasse auf einen einzigen DOF konzentriert. Aufgrund der Kontaktwechselwirkung zwischen Reifen und Glasscheibe und dem Verhalten der Luftreifen ist jedoch zu erwarten, dass das SDOF-Modell nichtlinear ist.

In Anlehnung an das Hertzsche Kontaktgesetz [15] wurde eine nichtlineare Last-Verschiebungsbeziehung der folgenden Form angenommen:

Daher besteht ein SDOF-Modell aus einer linearen Feder parallel zu einer nichtlinearen Feder. Darüber hinaus wurde ein steifigkeitsproportionales viskoses Dämpfungsmodell übernommen, um die Dämpfungskraft zu ermittelnFd ist proportional zur Sekantensteifigkeit, d. h

wobei β₀ und β₁ Faktoren sind, die das Ausmaß der Dämpfung bestimmen (dh eine nichtlineare Rayleigh-β-Dämpfung). Die Dämpfungsfaktoren und die unbekannten Faktoren k₀, k₁ und α wurden anhand experimenteller Daten sowie der Ergebnisse des numerischen Referenzmodells kalibriert, siehe weitere Abschnitte 4 Experimentelle Tests, 5 Modellvalidierung. In [10] wurde ein ähnliches nichtlineares SDOF-Modell vorgeschlagen, das jedoch ungedämpft und auf Basis eines Polynomausdrucks kalibriert ist (weiterhin wurde in [10] eine Reduzierung der Glasunterstruktur nicht berücksichtigt).

Beachten Sie, dass ein lineares Stoßdämpfermodell, unabhängig von der Verschiebung, dazu führt, dass eine unrealistische Dämpfungskraft ihren Spitzenwert gerade beim Aufprall erreicht, wenn die Geschwindigkeit der Impaktormasse ihren Spitzenwert erreicht. Dennoch ist es von Interesse, die Genauigkeit eines linearen Näherungsmodells für den Impaktor zu untersuchen, das den Einsatz recheneffizienter Analysetechniken ermöglicht. Ungefähre lineare Modelle, die den Impaktor darstellen, werden in Abschnitt 5.1 weiter besprochen.

2.3. Kopplungsverfahren und Schnittstellenreduktion

Der Impaktor wird durch ein SDOF-System modelliert, daher muss nur ein DOF mit der Glasplattenunterkonstruktion verbunden werden. Darüber hinaus ist die durch den Kontakt zwischen dem Impaktor und der Glasscheibe verursachte Nichtlinearität teilweise in das nichtlineare Impaktormodell integriert, wie in Abschnitt 2.2 beschrieben. Allerdings bestimmt die Verteilung der Kontaktspannungen, welche DOFs auf der Glasscheibe in die Kopplung einbezogen werden sollen.

Beim Aufprall wird Kontakt hergestellt und eine kleine Kontaktfläche gebildet, die sich allmählich vergrößert, wenn die kinetische Energie des Impaktors in Dehnungsenergie (und Dämpfungsenergiedissipation) umgewandelt wird. Folglich variiert die Kontaktfläche beim Aufprall erheblich. Dennoch kann ein näherungsweiser Modellierungsansatz unter der Annahme einer konstanten Kontaktfläche einigermaßen genau sein, wie z. B. die in [7], [11] vorgestellten Untersuchungen zeigen. Anstatt eine vollständige Beschreibung der Kontaktwechselwirkung einzubeziehen, wird daher davon ausgegangen, dass die Kontaktspannungsverteilung θ(x,y) konstant ist, während die gesamte Kontaktkraft Fc(t) im Laufe der Zeit variiert, d. h

wobei σc die Kontaktspannung und ∫θ(x,y)dA=1 ist.

Darüber hinaus ist es vernünftig anzunehmen, dass eine Näherung, die die Kontaktfläche unterschätzt, im Allgemeinen die Spitzendehnung in der Glasscheibe überschätzt, da dann zu erwarten ist, dass der Kontaktdruck größer ist. Dementsprechend kann eine realistischere Spitzendehnung erhalten werden, wenn eine etwas größere „beste Schätzung“-Kontaktfläche gewählt wird, vorausgesetzt, dass die Spitzendehnung zu einem Zeitpunkt auftritt, zu dem die Kontaktfläche relativ groß ist.

Ein Beispiel für die Form und Größe der Kontaktfläche, die mit dem numerischen Referenzmodell berechnet wurde (siehe Abschnitt 3.1), ist in Abb. 6 als dunkelgrau gefärbte elliptische Fläche dargestellt. Basierend auf den Ergebnissen des Referenzmodells wurde die Kontaktfläche ermittelt In den reduzierten Modellen wird davon ausgegangen, dass es die Form zweier Ellipsen hat, die in Abb. 7 mit violetten gestrichelten Linien dargestellt sind. Der große und kleine Radius der Ellipsen ist auf 90 mm bzw. 50 mm eingestellt. Es wird angenommen, dass diese Werte der Kontaktfläche entsprechen, die entsteht, wenn die Glasdehnung einen Spitzenwert erreicht. Allerdings variiert die Kontaktfläche sowohl zeitlich als auch bei verschiedenen Belastungsfällen, sodass die angegebenen Werte nur als grobe Schätzungen zu betrachten sind. Darüber hinaus wird von einer gleichmäßigen Kontaktspannung innerhalb der vorgegebenen Kontaktfläche ausgegangen. In [10] wird die Kontaktinteraktion mit einem ähnlichen Ansatz modelliert. Insbesondere wird von einer gleichmäßigen Kontaktspannung und elliptischen Kontaktflächen ausgegangen. Allerdings werden in [10] die physikalischen DOFs der Glasplatten im endgültigen System beibehalten, ein solcher Ansatz ist zwar rechenintensiver, ermöglicht aber eine Aktualisierung der Kontaktflächengröße in einem direkten Zeitschrittverfahren.

Der oben beschriebene vereinfachte Modellierungsansatz wurde mithilfe einer Mehrpunktbeschränkung (MPC) implementiert, bei der die Schnittstellenkräfte zwischen einem Master-DOF und einer Gruppe von Slave-DOFs mithilfe von Gewichtungsfaktoren gesteuert werden. Diese Art von Einschränkung findet sich beispielsweise in Abaqus [19], wo sie als verteilte Kopplung bezeichnet wird. Da jedoch keine detaillierten Informationen zur Beschreibung der Implementierung gefunden wurden, wird hier ein Vorschlag zur Durchsetzung einer solchen MPC-Beschränkung vorgelegt. Der Einfachheit halber und aufgrund der Tatsache, dass nur ein Master-DOF vorhanden ist, wird ein eindimensionaler MPC betrachtet (dh es werden nur Grenzflächenkräfte senkrecht zur Glasscheibe berücksichtigt). Die unten beschriebene MPC-Einschränkung wurde in Matlab implementiert.

Grundlage der MPC-Methode ist die Forderung, dass die Summe der auf die Slave-DOFs wirkenden Schnittstellenkräfte gleich der auf den Master-DOF wirkenden Schnittstellenkräfte ist, vgl. Abb. 7. Diese Anforderung ist nicht so restriktiv und kann grundsätzlich von jeder Grenzflächenkraftverteilung erfüllt werden, solange das Gleichgewicht gewahrt bleibt. Wie weiter unten gezeigt wird, ist dies auch der Grund, warum diese Methode maßgeschneiderte Schnittstellenkraftverteilungen ermöglicht.

Nehmen Sie an, dass eine Reihe von Gewichtsfaktoren wi, die sich auf die MPC-Slave-DOFs beziehen, so normalisiert sind, dass

wobei p die Anzahl der Slave-DOFs ist. Darüber hinaus wird die Einschränkung erzwungen, sodass die Verschiebung des Master-DOF dem gewichteten Mittelwert der Slave-DOFs entspricht [19], d. h

was impliziert, dass die mit dem Slave-DOF i verbundene Verschiebung wie folgt ausgedrückt werden kann:

Daher ist ein DOF redundant und kann basierend auf den Verschiebungen der anderen im MPC enthaltenen DOFs berechnet werden. Darüber hinaus gilt Gl. (18) kann in Matrixform ausgedrückt werden

WoB ist ein Vektor, der die normalisierten Gewichtsfaktoren ŵi an Einträgen enthält, die Slave-DOFs entsprechen, eine negative Eins am Eintrag, der dem Master-DOF entspricht, und Nullen in den übrigen Einträgen. Die Größe vonBist 1×ñ, wobei ñ=n+1 (somit wird ein Master-DOF zur Glasplatten-Unterstruktur mit n DOFs hinzugefügt).

Die Verschiebung kann in eine Reihe eindeutiger Partitionen unterteilt werdenuu und überflüssigu r DOFs [21]. Wenn der Slave-DOF p als redundanter DOF gewählt wird, dannur=up⁽ˢ⁾ unduu =0 u⁽ᵐ⁾ u₁⁽ˢ⁾ … uₚ₋₁⁽ˢ⁾. Somit,

WoBu= [0−1 ŵ₁ … ŵₚ₋₁] undB r=ŵₚ. Durch Umschreiben von Gl. (20) kann die redundante Verschiebung ausgedrückt werden als:

Somit kann der Verschiebungsvektor durch die eindeutigen Verschiebungen ausgedrückt werden,

WoList eine ñ×n-Transformationsmatrix.

Die Bewegungsgleichung für ein lineares System, einschließlich der redundanten DOFs, kann wie folgt geschrieben werden:

WoM,CUndKsind die ñ×ñ Masse-, Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrix,uist der Verschiebungsvektor ñ×1,Fist der äußere Kraftvektor ñ×1 undG ist ein Grenzflächenkraftvektor von ñ×1, der aufgrund des Vorhandenseins von MPCs enthalten ist. Nun fügt man die Transformation gemäß Gl. (22) in Gl. (23) und Vormultiplikation mitL⊤ ergibt:

daher,

wo wir das verwenden

Wie durch Gl. (25) steuern die Gewichtsfaktoren die Verteilung der Schnittstellenkräfte, die auf die Slave-DOFs wirken. Zum Beispiel Gl. (25) impliziert dies

und allgemein,

Weiter gilt nach Gl. (16) werden die Gewichtsfaktoren normalisiert, was dies impliziert

Somit bleibt das Gleichgewicht erhalten. Darüber hinaus ist zu beachten, dass die obige Formulierung beliebige Gewichtsfaktoren zulässt, um beispielsweise eine ungleichmäßige Grenzflächenkraftverteilung oder ein ungleichmäßiges Elementnetz zu berücksichtigen.

2.4. Dynamische Antwortanalyse

Bei den experimentellen Versuchen wird der Pendelschlagkörper ab einer bestimmten Fallhöhe losgelassen und beginnt eine Schwingbewegung, bis er an seinem tiefsten Punkt auf die Glasscheibe trifft. Die numerischen Analysen werden direkt beim Aufprall eingeleitet. Somit wird die dynamische Reaktion des Glas-Impaktor-Systems durch die Lösung eines Anfangswertproblems erhalten – die äußeren Kräfte sind Null und dem Impaktor wird eine Anfangsgeschwindigkeit vorgegeben. Die Anfangsgeschwindigkeit v₀,imp wird anhand der Pendelfallhöhe berechnet:

Dabei ist g die Erdbeschleunigung und h die Fallhöhe. Bei diesem Ansatz wird davon ausgegangen, dass die Winkelgeschwindigkeit des Impaktors vernachlässigbar ist, was angesichts der Tatsache, dass die Länge des in der Versuchskampagne verwendeten Pendels etwa 2 m betrug, vernünftig ist. (Wenn man die Bewegung eines starren Körpers annimmt, folgt daraus, dass das Verhältnis zwischen der linearen und rotatorischen kinetischen Energie beim Aufprall durch Eω₀/Ev₀=I/(mL²) < 1 % gegeben ist, wobei m und I die Masse bzw. das Trägheitsmoment des Impaktors sind und L ist der Abstand zwischen dem Massenschwerpunkt des Impaktors und dem Fixpunkt des Pendels.)

Es werden Lösungsmethoden sowohl für lineare als auch für nichtlineare Systeme untersucht. Darüber hinaus wird nur die erste Phase betrachtet, bei der es zu einem Kontakt zwischen dem Impaktor und der Glasscheibe kommt.

2.4.1. Lineare Systeme mit nichtklassischer Dämpfung

Wenn die gekoppelte Impaktor-Glas-Struktur mithilfe eines linearen Modells mit klassischer Dämpfung approximiert wird, lässt sich mithilfe von Modalerweiterungstechniken, die auf das zusammengesetzte System angewendet werden, problemlos eine geschlossene Lösung erhalten [29]. Für Systeme mit nichtklassischer (auch nicht-proportionaler) Dämpfung ist dieser Ansatz jedoch im Allgemeinen nicht durchführbar, da eine Projektion der Systemgleichungen auf eine modale Basis dann nicht zu einer diagonalen Dämpfungsmatrix führen würde. Gemäß Abschnitt 5.1 kann das Dämpfungsverhältnis eines linearen Impaktormodells auf etwa 5 % geschätzt werden, wohingegen das Dämpfungsverhältnis der einfach unterstützten Glasplatten etwa 1,7 % beträgt, wie in Abschnitt 4 weiter erläutert wird. Somit ist die Dämpfung des Das zusammengesetzte System ist in der Tat nicht proportional und daher kann eine herkömmliche Modalanalyse nicht verwendet werden.

Dennoch kann eine geschlossene Lösung erreicht werden. Zum Beispiel mittels der komplex gedämpften Eigenmoden unter Verwendung einer Zustandsraumformulierung (siehe z. B. [30]) oder durch Verwendung der sogenannten Modal Strain Energy (MSE)-Methode, die eine Näherungsmethode zur Berücksichtigung von Nichtproportionalität darstellt Dämpfung [31], [32]. Ein Vorteil der MSE-Methode gegenüber einer Zustandsraumformulierung besteht darin, dass die Anzahl der Systemvariablen halbiert wird und imaginäre Variablen vermieden werden können. Darüber hinaus deuten die in [32] vorgestellten numerischen Untersuchungen darauf hin, dass die MSE-Methode für Systeme mit einer Dämpfung von weniger als etwa 20 % genau ist, sodass davon ausgegangen werden kann, dass sie für das untersuchte Glas-Impaktor-System ausreichend genau ist.

Das Dämpfungsverhältnis eines SDOF-Systems, das eine Modalkoordinate darstellt, kann ausgedrückt werden als:

Dabei ist ED der modale Energieverlust in einem Zyklus aufgrund der viskosen Dämpfung und ES die Energieamplitude der modalen Dehnung, gegeben durch:

WoKˆist die globale Steifigkeitsmatrix mˆ×mˆ, die das gekoppelte Impaktor-Glas-System darstellt, und ϕⱼ ist der Eigenvektor für Mode j, der durch Lösen des verallgemeinerten Eigenwertproblems erhalten wird:

wobei ωⱼ die entsprechende Eigenfrequenz ist. Beachten Sie, dass die Elemente der Eigenvektoren sowohl physikalische als auch verallgemeinerte DOFs umfassen.

Gemäß der MSE-Methode wird der modale Energieverlust wie folgt berechnet:

wobei ωⱼ die Eigenfrequenz für Mode j und istC ist die globale Dämpfungsmatrix mˆ×mˆ, die die Dämpfungsuntermatrizen für das Glas bzw. den Impaktor enthält. Daraus folgt, dass das modale Dämpfungsverhältnis für Mode j wie folgt berechnet werden kann:

WoMist die globale Massenmatrix mˆ×mˆ.

Wie bei einer herkömmlichen modalen Zerlegung, die auf Systeme angewendet wird, die als physikalische DOFs ausgedrückt werden, kann ein mittels DS reduziertes lineares System in modalen Koordinaten ausgedrückt werden:

wobei ηⱼ die Modalkoordinate für Modus j ist.

Wenn die Dämpfung vernachlässigt wird, können die Systemgleichungen diagonalisiert werden, indem das System auf die Modalbasis projiziert wird:

wobei Φ = [ϕ₁ ϕ₂ … ϕmˆ] die Modalmatrix und η = [η₁ η₂ … ηmˆ]ᵀ die Modalamplituden sind. Somit erhält man einen Satz mˆ ungekoppelter Differentialgleichungen, die unabhängig voneinander gelöst werden können.

Durch Einführung der modalen Dämpfungsverhältnisse, die mit der MSE-Methode ermittelt wurden, und unter der Annahme, dass die äußere Kraft Null ist, ergibt sich für jede modale Reaktion Folgendes:

wobei ζⱼ das Dämpfungsverhältnis für Mode j und ωⱼD=ωⱼ√1−ζⱼ² die j-te Eigenfrequenz mit Dämpfung ist [29]. Im Gegensatz zu einer herkömmlichen Modalantwortanalyse, die üblicherweise eine verkürzte Modalbasis verwendet, ist es in diesem Fall sinnvoll, alle mˆ-Moden in die Modalbasis einzubeziehen, da bereits eine Reduktion auf der Unterstrukturebene durchgeführt wurde. Daher wird die Modalanalyse in erster Linie zur Diagonalisierung der Systemmatrizen und nicht zur Reduzierung der Systemgröße eingesetzt.

Bei einer standardmäßigen Modalanalyse wird die Modaldämpfungsmatrix im Allgemeinen direkt im Modalbereich mithilfe von Modaldämpfungsverhältnissen konstruiert, die beispielsweise durch experimentelle Tests bereitgestellt werden. Bei Verwendung der MSE-Methode wird jedoch die globale Dämpfungsmatrix verwendetC , das die Dämpfungsuntermatrizen enthält, ist erforderlich. Das SDOF-Modell, das den Impaktor darstellt, verwendet eine steifigkeitsproportionale Dämpfung, wie in Abschnitt 2.2 erläutert. Wenn man also ein lineares Impaktormodell betrachtet, wird die viskose Dämpfung durch einen gewöhnlichen Stoßdämpfer modelliert. Die auf die Glasscheibe bezogene Dämpfungsmatrix wird mittels Rayleigh-Dämpfung aufgebaut, d.h

wobei α und β die Rayleigh-Dämpfungsparameter sind [29]. Die Glasscheibendämpfung wird in Abschnitt 4 weiter untersucht und die Kalibrierung der Rayleigh-Parameter wird in Abschnitt 5 besprochen.

Durch die Verwendung der oben genannten Methodik wird eine geschlossene Lösung für Anfangswertprobleme linearer Systeme erhalten, auch wenn eine nichtproportionale Dämpfung vorhanden ist. Beachten Sie jedoch, dass es sich bei dem obigen Verfahren tatsächlich um eine Näherung handelt, da mögliche Terme außerhalb der Diagonale in der durch gegebenen modalen Dämpfungsmatrix nicht berücksichtigt werdenΦᵀCˆΦ.

2.4.2. Direkte Zeitintegration nichtlinearer Systeme

Die dynamische Reaktion der nichtlinearen Systeme wird durch implizite direkte Zeitintegration gelöst. Für die reduzierten Modelle wird die direkte Zeitintegration mit der Newmark-Methode [29] durchgeführt. Die Newmark-Parameter sind auf β=1/4 und γ=1/2 eingestellt, was zu einem bedingungslos stabilen System führt, was bei der Lösung eines nichtlinearen Systems praktisch ist. Darüber hinaus wird das Kräftegleichgewicht in jedem Zeitinkrement mithilfe von Newton-Raphson-Iterationen hergestellt [29].

Ein detailliertes FE-Modell des Impaktors wurde mit der kommerziellen FE-Analysesoftware Abaqus erstellt [19]. Die mit dem Referenzmodell berechnete Antwort ergänzt die experimentellen Ergebnisse in einer Validierung der reduzierten Modelle (siehe weiter Abschnitt 5.3). Darüber hinaus liefert das FE-Modell Einblicke in das Strukturverhalten des Impaktors und seine Wechselwirkung mit der Glasscheibe, was wichtige Erkenntnisse bei der Ableitung und Bewertung eines reduzierten Modells darstellt.

Darüber hinaus wurde ein FE-Modell der Glasplatte entwickelt, das sowohl in den Abaqus-Analysen einschließlich des Impaktor-Referenzmodells als auch zur Generierung von Systemmatrizen verwendet wird und für den Prozess der Erstellung reduzierter Modelle zur Darstellung der Glasplatte erforderlich ist. Das FE-Modell der Glasscheibe wurde in Abaqus modelliert. Um jedoch vollen Zugriff auf die FE-Verfahren zu erhalten, wurde mit Matlab ein separates, aber in der Praxis gleichwertiges FE-Modell erstellt.

3.1. Impaktor

Bei den Impaktor-Gummireifen handelt es sich um pneumatische Diagonalreifen, die aus Gummi bestehen, der mit Nylon-Lagekorden verstärkt ist, normalerweise in einem Winkel von ± 30°–40° zur Fahrtrichtung, wobei jede zusätzliche Lage in entgegengesetzter Richtung positioniert ist [4].

In Abaqus wurde das nahezu inkompressible Gummimaterial mithilfe eines hyperelastischen Modells modelliert. Die Dehnungen im Gummi erweisen sich als relativ gering (< 20 %), weshalb ein Neo-Hookesches Modell mit Parametern gemäß Tabelle 1 als ausreichend genau angesehen wird. Die Gummireifen wurden durch Schalenelemente mit vier Knoten modelliert und die Nylonschnüre wurden mithilfe sogenannter Bewehrungsschichten modelliert, einer Funktion in Abaqus, die die Angabe orthogonaler oder schräger Verstärkungen ermöglicht, die in Schalen- oder Membranelemente eingebettet sind. Daher werden die Nylonschnüre nicht durch separate Elemente modelliert, sondern vielmehr als verschmierte Bewehrungsschicht, die an der Referenzoberfläche des Schalenelements positioniert ist. Der Korddurchmesser wurde gemäß [3] auf 0,45 mm mit einem Abstand von 1,6 mm festgelegt. Durch eine optische Untersuchung eines Reifenschnitts wurde die Dicke des Gummis auf 5 mm geschätzt.

Für ein realistisches Verhalten des Reifenmodells ist ein genaues Modell der Steifigkeitsverteilung der Nylonlagenkorde wichtig. Der von der enthaltenen Luft ausgeübte Druck wird hauptsächlich durch Zugspannungen in den Nylonschnüren ausgeglichen, deren Steifigkeit mehrere Größenordnungen größer ist als die des Gummis (selbst wenn man den Unterschied in der Querschnittsfläche berücksichtigt). Daher ist die Steifheit der aufgepumpten Reifen in erster Linie auf die Vorspannung der Nylon-Lagekorde zurückzuführen, und folglich hat der Winkel der Nylonkorde einen relativ großen Einfluss auf das Strukturverhalten. Allerdings waren keine Daten zum Nyloncord-Winkel für die in dieser Studie verwendeten spezifischen Reifen verfügbar. Stattdessen wurde der Winkel durch Vergleich der deformierten Form des tatsächlichen Reifens im aufgepumpten und nicht aufgepumpten Zustand mit der deformierten Form bestimmt, die durch eine quasistatische Analyse des Reifendrucks ermittelt wurde. Basierend auf diesem Vergleich wurde der Winkel auf 40° geschätzt.

Der Reifenluftdruck wurde mithilfe eines in Abaqus als Flüssigkeitshohlraum bezeichneten Merkmals modelliert, das die Kopplung zwischen der Verformung der Reifenstruktur und dem von der enthaltenen Luft ausgeübten Druck berücksichtigt. Bei diesem Modellierungsansatz wird nur der quasistatische Luftdruck berücksichtigt, während der dynamische Druck vernachlässigt wird. Im unverformten Zustand wurde ein Überdruck von 4,07 bar vorgegeben, um im verformten Zustand einen Luftdruck von 3,5 bar zu erreichen.

Die Stahlgewichte, Felgen und die Schraubenspindel (die Achse, die die beiden Gewichte verbindet) wurden mithilfe linear-elastischer Materialeigenschaften gemäß Tabelle 1 modelliert. Prinzipiell können die Gewichte als starre Körper modelliert werden, da diese viel steifer als die Reifen sind. Allerdings darf die Verformung der Felge und der Schraubspindel nicht vernachlässigbar sein. Außerdem führt die außermittige Anordnung der Gewichte zu einer Durchbiegung der Schraubenspindel, was wiederum eine Verformung der Reifen zur Folge hat. Um einen möglichen Einfluss dieser Effekte zu berücksichtigen, wurden die Stahlgewichte und die Schraubenspindel durch Volumenelemente mit acht Knoten modelliert, während die Felge durch Schalenelemente mit vier Knoten modelliert wurde. Das Netz des Impaktormodells ist sowohl für die unverformte als auch für die aufgeblasene Konfiguration in Abb. 8 dargestellt.

Eine viskose, steifheitsproportionale Dämpfung wurde auf den in den Aufpralltests gemessenen Energieverlust kalibriert, wie in den Abschnitten 4 Experimentelle Tests und 5.1 Kalibrierung von Impaktormodellen erläutert. Darüber hinaus wurde eine Kontaktwechselwirkung zwischen den Reifen mit einem Reibungskoeffizienten von μ=0,7 gemäß [4] vorgeschrieben.

Tabelle 1. Im Referenzmodell verwendete Materialmodelle.

Die Glasscheibe wurde mit massiven Schalenelementen modelliert, die eine angenommene Dehnungsverteilung für eine verbesserte Modellierung der Biegung nutzen [35]. Ein Vorteil dieser Elemente im Vergleich zu herkömmlichen Schalenelementen besteht darin, dass keine besondere Behandlung zur Berücksichtigung von Lastversätzen oder vorgeschriebenen Randbedingungen erforderlich ist. Eine Evaluierung der Verwendung fester Schalen zur Modellierung von Glasscheiben wird beispielsweise in [36] vorgestellt.

Der tragende Stahlrahmen wurde als starr angenommen und die zwischen Glas und Stahl positionierten EPDM-Gummistreifen wurden durch lineare elastische Federbetten modelliert. Im Versuchsaufbau wurde der Gummi entlang der Stützen durch die Verschraubung der Glasscheiben vorgespannt, was sich auf die Gummisteifigkeit auswirkte. Daher wurde die Steifigkeit der Federbetten auf der Grundlage der Grundfrequenzen kalibriert, die für die 8, 10 bzw. 12 mm dicken, einfach gehaltenen Glasplatten gemessen wurden. Mit diesem Ansatz wurde die Steifigkeit der Gummistreifen, modelliert mit einer Dicke von 10 mm und einer Breite von 15 mm, auf 10 MPa geschätzt (dadurch werden Glasgeometrie, Dichte und Steifigkeit berücksichtigt, die auch die Grundperioden beeinflussen). als relativ bekannte Parameter). Die Steifigkeit der Gummistreifen in der Ebene wurde auf ähnliche Weise mithilfe elastischer Federn modelliert.

In Übereinstimmung mit den in Abschnitt 4 besprochenen Messungen wurde für die Glasscheiben, die mittels Rayleigh-α- und β-Dämpfung modelliert wurden, ein Dämpfungsgrad von 1,7 % angenommen. Die Ableitung der Rayleigh-Parameter wird in Abschnitt 5 weiter diskutiert.

Zur Validierung der reduzierten Modelle wurden experimentelle Tests durchgeführt. Insbesondere wurde die Dehnung an einfach unterstützten monolithischen Glasplatten mit den Abmessungen 1000 mm × 800 mm aus normalem vorgespanntem Natron-Kalk-Silikatglas gemessen. Die Aufpralltests für Glasscheiben waren Teil einer in [37], [38] zusammengefassten Versuchskampagne, die zusätzliche Tests von Glasscheiben umfasste, die mit verschiedenen Befestigungsmethoden wie linearen Klemmen, lokalen Klemmbefestigungen und Punktbefestigungen montiert wurden. Darüber hinaus wurden auch Gläser mit unterschiedlicher Wärmebehandlung sowie mit unterschiedlichen Materialien laminiertes Glas getestet.

Zusätzliche Messungen wurden durchgeführt, um die dynamischen Eigenschaften des Impaktors zu ermitteln. Es stellt sich heraus, dass die dynamischen Eigenschaften des Impaktors, wie z. B. die dynamische Steifigkeit und Dämpfung, einen großen Einfluss auf das dynamische Verhalten des gekoppelten Impaktor-Glas-Systems haben. Darüber hinaus ist ein besserer Einblick in das Strukturverhalten bei der Entwicklung reduzierter Modelle unerlässlich, um sicherzustellen, dass im Reduktionsprozess keine wesentlichen Eigenschaften des Systems verloren gehen.

4.1. Dynamische Eigenschaften des Impaktors

Das Design des Impaktors ist in [1] beschrieben, wo die Impaktorteile detailliert spezifiziert sind. Die Reifen sollten vom Typ 3.50-R8 4PR (von Vredestein) oder nachweislich gleichwertig sein. In der vorliegenden Studie wurden zwei Michelin 3.50-S83-Reifen verwendet (siehe Abb. 9b), die auch in den in [3] vorgestellten experimentellen Tests verwendet wurden. Der Fülldruck beträgt 3,5 bar und das Gesamtgewicht des Impaktors beträgt 50 kg.

Die Dämpfung und Steifigkeit des Impaktors wurden anhand des Aufpralls auf eine sehr steife Stahlsäule bewertet, die als starr angesehen werden kann. Die Impaktorbeschleunigung wurde an mehreren Stellen der Impaktorgewichte gemessen, wie in Abb. 2b dargestellt. Ähnliche Tests wurden auch in [3] durchgeführt. Die in der vorliegenden Studie durchgeführten Tests umfassten jedoch auch eine Abschätzung der Impaktordämpfung. Genauer gesagt wurde die Differenz zwischen der maximalen Höhe des Impaktors nach dem Aufprall h₁ und der anfänglichen Fallhöhe h₀ gemessen. Daher wurde der Energieverlust während des Aufpralls (ΔE) geschätzt als:

Die Messung der Impaktorposition erfolgte durch Aufzeichnung der Aufprallsequenz auf Video mit einer Bildrate von 240 Bildern pro Sekunde, was hoch genug ist, um ein flüssiges Zeitlupenvideo zu ermöglichen. Bevor die Schlagversuche durchgeführt wurden, wurde ein physikalisches Messgitter in der Ebene des Pendels positioniert und im gleichen Winkel und in der gleichen Position wie die Schlagversuche gefilmt. Dieses Messraster wurde dann zur Kalibrierung der direkt in den Zeitlupenvideos durchgeführten Messungen verwendet. Die Tests wurden mit einer Fallhöhe des Impaktors von 100, 200, 300, 450 bzw. 700 mm durchgeführt.

Tabelle 2. Energieverlust beim starren Aufprall des Impaktors.

Die experimentellen Ergebnisse und der geschätzte Energieverlust, der wiederum die Dämpfung bestimmt, sind in Tabelle 2 dargestellt. Beachten Sie, dass die experimentelle Methodik impliziert, dass die Masse der Impaktorgewichte als ausreichend groß angenommen werden kann, sodass das System gut dargestellt werden kann ein SDOF-System bei Kontakt mit der starren Wand und eine im Raum schwebende starre Masse, wenn kein Kontakt hergestellt wird. Darüber hinaus wird davon ausgegangen, dass die kinetische Energie im Zusammenhang mit der Winkelgeschwindigkeit des Impaktors vernachlässigbar ist, was angesichts der Pendellänge von etwa 2 m sinnvoll ist.

4.2. Weichkörperaufprall auf Glasscheiben

Zur Validierung der Modelle reduzierter Ordnung wurden experimentelle Ergebnisse aus Aufpralltests von zweiseitig einfach unterstützten Glasplatten verwendet, wie in Abb. 9a dargestellt. Die Glasscheiben bestehen aus gehärtetem monolithischem Glas mit einer Nenndicke von 8, 10 bzw. 12 mm. Wie in [38] beschrieben, wurde die horizontale Dehnung mit einem auf der Rückseite (Zugseite) der Glasscheiben aufgeklebten Dehnungsmessstreifen am Aufprallpunkt gemessen, siehe Abb. 9b. Es wurden Schlagversuche mit einer Fallhöhe von 100, 200, 300, 400 und 500 mm durchgeführt.

Das Signal des Dehnungsmessstreifens wurde einige Sekunden lang bei einer Frequenz von 600 Hz aufgezeichnet. Die Kontaktzeit des Impaktors beträgt jedoch typischerweise weniger als 80 ms. Daher umfassen die protokollierten Dehnungsdaten den Bewegungsabfall nach dem Aufprall, der zur Abschätzung der Dämpfung der Glasscheiben und ihrer Befestigungen genutzt wurde. Ein Beispiel der protokollierten Dehnungsdaten ist in Abb. 10a dargestellt. Darüber hinaus ist das logarithmische Dekrement gegeben durch:

Dabei ist uᵢ die im Zyklus i gemessene Amplitude, n die Anzahl der Zyklen zwischen den gemessenen Amplituden und ζ das Dämpfungsverhältnis. Unter der Annahme einer linearen Elastizität betragen die Verschiebungsamplituden in Gl. (38) kann durch die gemessene Dehnungsamplitude ersetzt werden. Die geschätzte Dämpfung für einige Tests ist in Abb. 10b dargestellt. Die horizontale Achse bezeichnet die im Zyklus i gemessene Dehnungsamplitude, entsprechend uᵢ in Gl. (38). Wie in der Abbildung gezeigt, variiert das Dämpfungsverhältnis weder mit der Glasdicke noch mit der Amplitude. Es ist jedoch zu beachten, dass die Dehnungsamplitude bei allen Messungen recht gering ist, nämlich weniger als 0,25 mm/m. Basierend auf den Daten der Schlagversuche wurde der Dämpfungsgrad des Glases und seiner Befestigungen auf 1,7 % geschätzt. Dies ist etwas größer als die Dämpfungsverhältnisse, die beispielsweise in [39], [40] angegeben werden, wo allerdings unterschiedliche Versuchsanordnungen verwendet wurden.

Zusätzlich zur Schätzung des Dämpfungsverhältnisses der Glasplatten wurde die gemessene Dehnung aufgrund der freien Vibration nach dem Aufprall zur Schätzung der Grundperioden der einfach unterstützten Glasplatten verwendet. Beachten Sie, dass die Glasdehnung, die in der Mitte der Glasscheibe gemessen wird, hauptsächlich auf die Schwingung der Grundmode zurückzuführen ist. Für Glasscheiben mit einer Dicke von 8, 10 und 12 mm wurde die Grundperiode auf 46, 37 bzw. 31 ms geschätzt.

Abschließend wurde die Dehnung in einem Doppelschlagversuch gemessen, wie in Abb. 11 dargestellt. Genauer gesagt wurde das Weichkörperpendel losgelassen und die Glasdehnung sowohl beim ersten als auch beim zweiten Schlag gemessen, indem man das Pendel bewegen ließ nach dem ersten Aufprall frei, bis ein zweiter Aufprall eingeleitet wurde. Bei diesem Verfahren entspricht die Aufprallenergie beim zweiten Aufprall in etwa der kinetischen Energie des Impaktors nach dem ersten Aufprall. Dieser Test wurde für einen Aufpralltest durchgeführt: Die 8-mm-Glasscheibe wurde einem Aufprall ausgesetzt, der einer Fallhöhe von 200 mm entspricht. Die gemessene Dehnung wurde genutzt, um implizit den Energieverlust während des Aufpralls für das gesamte System abzuschätzen. Dazu gehört die Energiedissipation durch Verformung des Impaktors (z. B. Reibung oder viskose Dämpfung), durch Reibungseffekte aufgrund von Kontakt sowie durch Verformung der Glasscheibe und ihrer Befestigungen.

Wenn man ein linear-elastisches Verhalten annimmt, kann die Antwort durch die Lösung eines Anfangswertproblems eines linearen Systems erhalten werden. Wie aus den Gleichungen hervorgeht. (33), (35) sind die Verschiebungen eines solchen Systems linear von der Anfangsgeschwindigkeit abhängig. Demnach sind die Verschiebungen quadratisch abhängig von der anfänglichen kinetischen Energie des Aufprallkörpers EK,0, gegeben durch

Daraus folgt, dass das Quadrat des Verhältnisses zwischen der Spitzendehnung beim ersten und zweiten Aufprall proportional zum Verhältnis zwischen den kinetischen Energien ist, die im System beim ersten bzw. zweiten Aufprall induziert werden. Somit,

wobei ε⁽¹⁾ und ε⁽²⁾ die beim ersten und zweiten Aufprall gemessenen Dehnungen sind und EK,0⁽¹⁾ und EK,0⁽²⁾ die kinetische Energie unmittelbar vor dem ersten bzw. zweiten Aufprall sind. Aus den gemessenen Spitzendehnungen gemäß Abb. 11 (roter und grüner Kreis) lässt sich das Verhältnis der kinetischen Energie beim ersten und zweiten Aufprall auf (1,386/1,616)²=0,74 abschätzen. Somit beträgt die im System beim zweiten Aufprall induzierte Energie 74 % der Aufprallenergie beim ersten Aufprall und dementsprechend beträgt der Energieverlust etwa 26 %. Dies liegt ziemlich nahe am Energieverlust, der bei den starren Schlagtests gemessen wurde (siehe Tabelle 3), was darauf hindeuten könnte, dass der Energieverlust im Zusammenhang mit der Verformung der Glasscheibe relativ gering ist.

Es ist jedoch zu beachten, dass der aus einem Doppelschlagversuch mit dem oben genannten Verfahren berechnete Energieverlust grundsätzlich nur für lineare Systeme gilt und daher nur als grobe Schätzung angesehen werden sollte. Darüber hinaus geht ein Teil der induzierten Energie beim Aufprall nicht verloren, sondern versetzt die Glasscheibe nach dem Aufprall in Schwingungen. Die Dehnungsenergie der Glasplatte hängt vom Quadrat der Glasdehnung ab. Dementsprechend kann ein Dehnungsenergieverhältnis basierend auf der Spitzendehnung während des Aufpralls und der Spitzendehnung nach dem Aufprall geschätzt werden. Unter Verwendung der gemessenen Dehnungen gemäß Abb. 11 für den ersten Aufprall (roter und blauer Kreis) beträgt das Dehnungsenergieverhältnis (0,1925/1,616)²=1 %, was grundsätzlich vernachlässigbar ist.

Um die reduzierten Modelle zu validieren, wird die berechnete Antwort sowohl mit experimentellen Ergebnissen als auch mit der vom Referenzmodell bereitgestellten Antwort verglichen. Es werden zwei Lastfälle ausgewertet, bei denen der Auftreffpunkt zentrisch (Lastfall A) bzw. exzentrisch (Lastfall B) liegt. In beiden Lastfällen wird die Stoßbelastung einer beidseitig durchgehend gestützten monolithischen Glasscheibe mit einer Breite von 1000 mm und einer Höhe von 800 mm untersucht. Die Position des Impaktors für die Lastfälle A und B ist in Abb. 12 dargestellt.

Kalibrierungen des Impaktor-Referenzmodells und der entwickelten SDOF-Modelle, die den Impaktor darstellen, werden in Abschnitt 5.1 vorgestellt. In Abschnitt 5.2 werden die mit dem Referenzmodell und den reduzierten Modellen berechneten Antworten anhand der Lastfälle A und B verglichen und bewertet. Darüber hinaus wird in Abschnitt 5.3 eine Validierung auf Basis experimenteller Ergebnisse für Lastfall A vorgestellt.

5.1. Kalibrierung von Impaktormodellen

Eine Kalibrierung des numerischen Abaqus-Referenzmodells des Impaktors wurde auf der Grundlage der in Abschnitt 4 besprochenen starren Aufpralltests durchgeführt. Zur Simulation der experimentellen Tests wurden numerische Analysen des Aufpralls mit einer starren Oberfläche durchgeführt. Die Analysen wurden direkt beim Aufprall eingeleitet, indem dem Impaktor eine Anfangsgeschwindigkeit vorgegeben wurde. Das Modell wurde in dem Sinne kalibriert, dass eine steifigkeitsproportionale viskose Dämpfung vorgeschrieben wurde, um dem in den experimentellen Tests erhaltenen Energieverlust zu entsprechen, siehe Tabelle 3. Basierend auf dieser Kalibrierung wurde dem Gummi proportional ein Dämpfungsparameter von β = 0,022 vorgeschrieben zur spannungsfreien elastischen Steifigkeit. Die weiteren Materialparameter wurden gemäß Tabelle 1 eingestellt.

Die Impaktorbeschleunigung ist in Abb. 13 für eine Fallhöhe von 100, 200, 300, 450 und 700 mm dargestellt. Die gestrichelten Linien sind die in den Aufpralltests gemessenen Beschleunigungen und die durchgezogenen Linien sind die durch die numerischen Simulationen ermittelten Beschleunigungen, die von einem Knoten in der Nähe der Position des Beschleunigungsmessers in den experimentellen Tests extrahiert wurden. Wie in der Abbildung gezeigt, zeigen die berechneten Beschleunigungen eine gute Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen für Fallhöhen von 450 und 700 mm. Bei Fallhöhen von 100, 200 und 300 mm ist jedoch die gemessene Spitzenbeschleunigung höher und die gemessene Impulszeit kürzer.

Es kann sein, dass ein Teil der Diskrepanz darauf zurückzuführen ist, dass die Dämpfung des Impaktors bei niedrigeren Amplituden tatsächlich eher durch Reibung als durch Viskosität erfolgt; Eine Coulomb-Dämpfung würde zu einem unsymmetrischen und kürzeren Beschleunigungsimpuls mit einer größeren Spitzenbeschleunigung führen. Beachten Sie, dass die Reibung zwar bei den Kontaktwechselwirkungen im Referenzmodell berücksichtigt wird, diese jedoch nur einen geringen Einfluss auf die gesamte Energiedissipation hat, was hauptsächlich auf die viskose Dämpfung zurückzuführen ist. Darüber hinaus wird die Rotationsbewegung des Impaktors beim Aufprall bei der Analyse nicht berücksichtigt, was ein weiterer Grund für die Diskrepanz zwischen den berechneten und gemessenen Beschleunigungen sein kann.

Das in Abschnitt 2.2 vorgestellte nichtlineare SDOF-Modell wurde auf das Impaktor-Referenzmodell kalibriert. Genauer gesagt wurde aus dem Referenzmodell eine Hystereseschleife erhalten, die das Verhalten eines verallgemeinerten SDOF-Systems darstellt, indem die Bewegung des Massenschwerpunkts des Impaktors und die gesamte Kontaktkraft zwischen dem Impaktor und der starren Oberfläche aufgezeichnet wurden. Die gesamte Kontaktkraft ist gleich (jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen) der Summe aus der Dämpfungskraft des Impaktors und der elastischen Kraft. Um die gesamte elastische Kraft von der gesamten inneren Kraft zu unterscheiden, wurde die elastische Kraft als Ableitung der gesamten Dehnungsenergie in Bezug auf die Verschiebung des Massenschwerpunkts des Impaktors angenähert, wie durch die grüne Kurve in Abb. 14 dargestellt.

Auf ähnliche Weise wurde die Dämpfungskraft als Ableitung der viskosen Dissipation geschätzt. Daher stellt die Summe der Ableitungen, dargestellt durch die gelbe Kurve in Abb. 14, die gesamte innere Kraft dar, die sehr nahe an der gesamten Kontaktkraft liegt, die durch die gestrichelte rote Kurve dargestellt ist. Die unbekannten Steifigkeitsfaktoren im verallgemeinerten SDOF-Modell (dh k₀, k₁ und α in Gleichung (13)) wurden dann aus der Last-Verschiebungs-Kurve im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate berechnet. Genauer gesagt wurden die Faktoren k₀, k₁ durch ein Problem der kleinsten Quadrate für einen gegebenen α-Wert bestimmt. Durch Durchlaufen einer Folge von α-Werten wurde eine beste Schätzung erhalten. Beispielsweise entspricht die blaue gestrichelte Kurve in Abb. 14 dem nichtlinearen SDOF-Modell, das auf die durch blaue Kreise markierten Datenpaare kalibriert wurde. Beachten Sie, dass die Ableitungen in der Nähe der Spitzenverschiebung schlecht konditioniert sind, weshalb diese nur für Verschiebungen von weniger als etwa 35 mm berechnet werden.

Tabelle 3. Energieverlust des Impaktors durch Aufprall auf den starren Balken.

Die durch das nichtlineare SDOF-Modell gegebene Beschleunigung mit auf k₀=1,59⋅10⁵, k₁=1,25⋅10⁷ bzw. α=2,242 kalibrierten Faktoren ist für verschiedene Fallhöhen in Abb. 15a dargestellt. Die Dämpfungsparameter in Gl. (14) wurden auf β₀=8⋅10⁻⁴ bzw. β₁=4⋅10⁻³ kalibriert, basierend auf der Form der Hystereseschleife des Referenzmodells und dem gemessenen Energieverlust, dargestellt in Tabelle 3. Die Hysterese Die Schleife für verschiedene Fallhöhen ist in Abb. 16 dargestellt und wurde mit dem Referenzmodell bzw. dem nichtlinearen SDOF-System berechnet.

Wie in Abschnitt 2.4 besprochen, kann ein lineares System mithilfe von Modalentwicklungstechniken gelöst werden, und insbesondere kann eine geschlossene Lösung für Anfangswertprobleme erreicht werden. Ein lineares Modell des Montagesystems impliziert die Verwendung eines linearen Impaktormodells. Wie in Abb. 13 dargestellt, variiert die Impulszeit jedoch mit der Aufprallenergie, was für ein nichtlineares System zu erwarten ist. Mit zunehmender Fallhöhe erscheint das System steifer, dh die Pulszeit ist kürzer, was auch mit dem oben diskutierten nichtlinearen System übereinstimmt. Dennoch kann aus der gemessenen Pulszeit ein vereinfachtes Näherungsmodell abgeleitet werden.

Wenn der Kontakt hergestellt ist, kann die Bewegung des Massenschwerpunkts des Impaktors durch ein SDOF-System dargestellt werden, das einer freien Vibration ausgesetzt ist. Daraus folgt, dass die Pulszeit, die der halben Eigenperiode des Systems entspricht, zur Abschätzung einer linearen Steifigkeit herangezogen werden kann. Bei diesem Ansatz wurde eine Pulszeit von 38 ms zur Schätzung einer ungefähren Steifigkeit berücksichtigt, die nahe an der Pulszeit liegt, die für eine Fallhöhe von 450 mm gemessen wurde. Daher kann die natürliche Periode des Systems als T = 2⋅38 = 76 ms angenähert werden, was einer Kreisfrequenz von ω = 82,7 rad/s entspricht.

Demnach beträgt die Steifigkeit k = mω² = 342 kN/m. Ähnlich wie beim nichtlinearen System wurde eine steifigkeitsproportionale Dämpfung berücksichtigt (dh ein gewöhnlicher Stoßdämpfer) mit einem auf c = 445 N s/m kalibrierten Dämpfungskoeffizienten (entsprechend einem Dämpfungsverhältnis von ζ = 5,4 %). Die mit dem linearen SDOF-Modell berechnete Beschleunigung ist in Abb. 15b dargestellt. Beachten Sie, dass es in den Beschleunigungskurven zu einer augenblicklichen Beschleunigung kommt, die darauf zurückzuführen ist, dass die anfängliche Dämpfungskraft linear proportional zur vorgeschriebenen Anfangsgeschwindigkeit ist. Außerdem ist die berechnete Impulszeit, wie für ein lineares System zu erwarten, nicht von der Aufprallenergie abhängig.

Tabelle 4. Rayleigh-Parameter für die Unterkonstruktion der Glasscheibe sowie Eigenperioden und Dämpfungsverhältnisse für das zusammengebaute System.

5.2. Evaluierung von Modellen reduzierter Ordnung

Einer der Vorteile des reduzierten linearen Modells ist die Möglichkeit, eine modale Zerlegung des gekoppelten Systems durchzuführen. Neben der Möglichkeit, rechnerisch effiziente Modalanalysen durchzuführen, können die Eigenfrequenzen, Eigenmoden und Modalantworten untersucht werden, um weitere Einblicke in das Strukturverhalten zu erhalten. Darüber hinaus können die Eigenfrequenzen des globalen Systems zur Kalibrierung des Rayleigh-Dämpfungsmodells verwendet werden, das zum Aufbau einer Dämpfungsmatrix für die Glasplattenunterkonstruktion verwendet wird. Die Rayleigh-Dämpfungsparameter können dann sowohl in der linearen als auch in der nichtlinearen Analyse verwendet werden.

Abb. 17 zeigt die Mittelpunktverschiebung der Glasscheibe, die durch das Modell der linearen reduzierten Ordnung bereitgestellt wird, einschließlich sechs Komponentenmodi in der Glasscheiben-Reduktionsbasis. Darüber hinaus wurde die Mittelpunktverschiebung in die Beiträge der ersten drei globalen Moden zerlegt, die in der Abbildung durch separate Kurven dargestellt sind. Wie gezeigt, kann die Reaktion fast ausschließlich durch die ersten beiden Moden repräsentiert werden, dies gilt für alle untersuchten Dicken. Im fundamentalen globalen Modus haben die Verschiebung des Impaktor-DOF und der Glasscheibe das gleiche Vorzeichen, d. h. sie schwingen gleichphasig, wie in Abb. 19 dargestellt.

Der zweite Modus ist jedoch ein „Out-of-Phase“-Modus, bei dem die Verschiebung des Impaktors und der Glasscheibe entgegengesetzte Vorzeichen haben. Für Moden höherer Ordnung stellt sich heraus, dass die Verformung des Impaktors sehr gering ist. Dies liegt daran, dass die Impaktormasse im Vergleich zur effektiven Masse in der Richtung außerhalb der Ebene für Moden höherer Ordnung groß ist – für antisymmetrische Moden ist die effektive Masse Null, und für symmetrische Moden nimmt die effektive Masse schnell mit ab Modusreihenfolge.

Die Rayleigh-Dämpfungsparameter für die Glasscheibe wurden so kalibriert, dass sie einer „besten Schätzung“ Dämpfung von 1,7 % (siehe Abschnitt 4) für die Eigenfrequenz des ersten bzw. zweiten globalen Modus entsprechen [29]. Die Dämpfungsparameter, die entsprechenden natürlichen Perioden und die modalen Dämpfungsverhältnisse sind in Tabelle 4 dargestellt. Beachten Sie, dass die modalen Dämpfungsverhältnisse für das zusammengebaute System, die mit der MSE-Methode berechnet wurden, sowohl die der Glasscheibe vorgeschriebene Rayleigh-Dämpfung berücksichtigen Unterstruktur sowie das im Impaktor-SDOF-Modell verwendete viskose Dämpfungsmodell, das linear proportional zur Frequenz ist. Folglich sind die berechneten globalen Dämpfungsverhältnisse frequenzabhängig, wie in Tabelle 4 dargestellt.

Wie in Abschnitt 4 erläutert, wurde der Energieverlust des Glas-Impaktor-Systems bei einer Glasplattendicke von 8 mm und einer Fallhöhe von 200 mm auf etwa 26 % geschätzt. Der entsprechende Energieverlust des linearen Modells beträgt etwa 18 %, was darauf hindeutet, dass die dem zusammengebauten System vorgeschriebene Dämpfung eher gering ist. Allerdings sollte, wie in Abschnitt 4 erläutert, der auf der Grundlage eines Doppelschlagtests geschätzte Energieverlust aufgrund von Einschränkungen in der experimentellen Methodik als grobe Schätzung betrachtet werden; Beispielsweise wird der Energieverlust im Zusammenhang mit der Bewegung des Pendels nicht berücksichtigt und es wird ein linear elastisches Verhalten angenommen.

Abb. 18 zeigt die horizontale Dehnung auf der Rückseite der Glasscheibe am Auftreffpunkt für verschiedene auf die Glasunterkonstruktion aufgebrachte Reduktionsunterlagen. Wie in der Abbildung gezeigt, ist die Spitzendehnung bei allen Modellen ähnlich. Insbesondere für den exzentrischen Lastfall ist jedoch eine verfeinerte Reduktionsbasis erforderlich, damit die Glasunterkonstruktion die Form der Dehnungskurve erfassen kann. Beachten Sie, dass die zur Reduzierung der Glasunterstruktur verwendete Reduktionsbasis ausreichend groß sein sollte, damit die deformierte Form der Glasscheibe für die wichtigen globalen Moden aufgelöst werden kann. Daher kann die Anzahl der erforderlichen Komponentenmodi größer sein als die Anzahl der globalen Modi, die für eine genaue Darstellung der globalen Reaktion erforderlich sind.

5.3. Validierung numerischer Modelle anhand experimenteller Daten

Die gemessene horizontale Dehnung auf der Rückseite der Glasplatten ist für verschiedene Fallhöhen und Glasdicken in Abb. 20 zusammen mit der entsprechenden Dehnung des Referenzmodells bzw. des reduzierten linearen und nichtlinearen Modells dargestellt. In den reduzierten Modellen wurde die Glasscheibe mithilfe von sechs Komponentenmodi (dh fünf Korrekturmodi mit fester Schnittstelle und einem Einschränkungsmodus) reduziert. Wie in der Abbildung dargestellt, entspricht die mit dem Referenzmodell und dem reduzierten nichtlinearen Modell berechnete Dehnung gut den gemessenen Dehnungen für Schlagversuche mit einer Fallhöhe von 100 mm.

Allerdings verstärken sich die Unterschiede bei Schlagversuchen mit zunehmender Fallhöhe. Besonders ausgeprägt ist die Abweichung bei den Glasscheiben mit einer Dicke von 12 mm. Darüber hinaus ist es von Interesse, nicht nur die Spitzendehnung zu bewerten (obwohl diese im Allgemeinen der entscheidende Parameter bei einer Entwurfsberechnung ist), sondern auch die Form der Dehnungskurven, die anzeigt, wie gut die Modelle das Strukturverhalten erfassen. Wie in der Abbildung gezeigt, ist die Form der Dehnungskurven für Glasplatten mit einer Dicke von 8 mm relativ ähnlich, wohingegen die Form der berechneten Dehnungskurven für Glasplatten mit größerer Dicke etwas unterschiedlich ist.

Die durch das lineare Modell bereitgestellte Dehnung kommt der Reaktion, die mit dem nichtlinearen reduzierten Modell für Fälle mit einer Fallhöhe von 500 mm berechnet wurde, sehr nahe. Dies liegt daran, dass die dem linearen Modell vorgegebene Steifigkeit für größere Amplituden besser passt, wie die Beschleunigungskurven in Abb. 15 zeigen. Dementsprechend wird die Pulszeit vom linearen Modell für geringere Fallhöhen leicht unterschätzt.

Zur weiteren Absicherung der Ergebnisse können die berechneten und gemessenen Daten anhand der in [11] dargestellten Referenzdiagramme ausgewertet werden, die auch in der DIN 18008-4 [41] enthalten sind. Die Referenzdiagramme resultieren aus experimentellen Daten und numerischen Simulationen und geben die Pendelbeschleunigung sowie die maximale Hauptspannung für eine Referenzplatte mit einer Breite von 1000 mm und einer Höhe von 700 mm an. Es werden sowohl Ergebnisse für allseitige als auch für zweiseitige (an den kurzen Enden unterstützte), durchgehend unterstützte Platten vorgestellt, wobei letztere mit den hier untersuchten Glasplatten vergleichbar sind.

Darüber hinaus berücksichtigen die Referenzdiagramme eine Pendelfallhöhe von 200 mm bzw. 450 mm. Insbesondere beträgt die Hauptspitzenspannung bei einem Aufprall mit einer Fallhöhe von 200 mm gegen die Mitte der zweiseitigen Referenzplatte etwa 140 MPa. Die entsprechende durch die Abaqus-Referenzanalyse ermittelte Spannung beträgt 131 MPa (die in Abb. 20 dargestellte Spitzendehnung ergibt sich somit aus εxx=(σxx−νσyy)/E, wobei die vertikale Spannung gemäß der Analyse σyy=59 MPa beträgt). Es ist jedoch zu beachten, dass die Höhe der hier untersuchten Glasplatte 800 mm beträgt. Somit ist mit einer etwas geringeren Belastung zu rechnen.

Gemäß den Referenzdiagrammen beträgt die Pendelspitzenbeschleunigung beim Aufprall auf einen starren Körper etwa 170 m/s² bzw. 265 m/s² bei Fallhöhen von 200 mm bzw. 450 mm. Wie in Abb. 13 dargestellt, stimmt dies gut mit den berechneten und gemessenen Beschleunigungen überein.

Bei der Überprüfung der Tragfähigkeit von Glaskonstruktionen, die einer Stoßbelastung ausgesetzt sind, können zeiteffiziente und benutzerfreundliche Entwurfswerkzeuge von großem Nutzen sein, die einen interaktiven Entwurfsprozess ermöglichen, bei dem alternative Entwürfe getestet werden können. In der vorliegenden Studie wurde ein DS-Ansatz verwendet, um Modelle reduzierter Ordnung zu entwickeln, die recheneffizient sind und gleichzeitig eine genaue Vorhersage der elastischen Reaktion vor dem Ausfall liefern. Für die untersuchten Lastfälle kann das gekoppelte Glas-Impaktor-System nur durch zwei globale Moden gut dargestellt werden. Es ist jedoch zu beachten, dass der Einfluss von Moden höherer Ordnung bei größeren Glasscheiben oder Scheiben mit anderen Randbedingungen möglicherweise nicht vernachlässigbar ist. Darüber hinaus wurde gezeigt, dass bis zu vier Komponentenmodi erforderlich sein können, um die Verschiebung der Glasscheibe in den globalen Modi aufzulösen.

Mithilfe von Korrekturmodi wurde eine Reduktionsbasis für die Glasscheibe erstellt, wie in Abschnitt 2.1 näher erläutert. Eine Alternative könnte darin bestehen, eine Reduktionsbasis mithilfe der traditionellen CB- oder Rubin-Ansätze zu konstruieren, die jeweils den Normalmodus mit fester und freier Schnittstelle verwenden. Allerdings würde es nicht viel bringen, wenn diese Methoden auf lineare Systeme angewendet würden, also dort, wo lineare Subsysteme sowohl für die Modellierung der Glasscheibe als auch des Impaktors verwendet werden. Das zusammengebaute System umfasst m + 1 DOFs, dh die Glasplatte hat insgesamt m DOFs und es wird ein zusätzlicher DOF hinzugefügt, der die Verschiebung der konzentrierten Impaktormasse darstellt.

Offensichtlich ist der Rechenaufwand für die Generierung eines Satzes von Komponentennormalmoden oder globalen Eigenmoden in der Praxis identisch. Im Gegenteil ersetzt ein Ansatz mit Korrekturmodi das Eigenwertproblem durch eine Reihe von Matrix-Vektor-Multiplikationen. Darüber hinaus schließt der Satz von Korrekturmoden per Definition redundante Moden aus, die nicht durch Belastung an der Substrukturgrenze angeregt werden können. Dementsprechend gibt es in der globalen Modalbasis keine antisymmetrischen Modenformen, wie in Abb. 19 dargestellt.

Wie in Abschnitt 2.4 diskutiert, können lineare Systeme mittels Modaldynamik gelöst werden, was wiederum eine geschlossene Lösung von Anfangswertproblemen ermöglicht. Allerdings ist eine Zeitdiskretisierung erforderlich, um die maximale Glasdehnung während des Aufpralls zu identifizieren. Darüber hinaus müssen die verallgemeinerten Koordinaten in jedem Zeitinkrement in physikalische Verschiebungen umgewandelt werden, die wiederum zur Berechnung der Glasdehnung verwendet werden können. Folglich kann die Nachbearbeitung der dynamischen Reaktion rechenintensiv werden.

Um dieses Problem zu lösen, kann ein Ansatz unter Verwendung modaler Summationstechniken eingesetzt werden. Eine konservative Bewertung kann beispielsweise durch eine absolute Summation der modalen Antworten erfolgen. Da nur ein Datensatz im physikalischen Bereich ausgewertet werden muss, wird der Rechenaufwand in der Nachbearbeitungsphase deutlich reduziert. Es ist jedoch zu beachten, dass die modale Phaseninformation bei einer modalen Summierung verloren geht, weshalb eine absolute Summierung in manchen Anwendungen zu konservativ sein kann.

Im Allgemeinen zeigen die entwickelten Modelle eine gute Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen. Allerdings gibt es einige Abweichungen, die besonders bei Glasplatten mit einer Nenndicke von 12 mm ausgeprägt sind (siehe Abb. 20). Die Abweichung kann auf Fehler/Unvollkommenheiten im Versuchsaufbau und/oder unzureichende Modellierungsabstraktionen zurückzuführen sein, wie z. B. die Annahme einer konstanten Kontaktfläche, die Vernachlässigung geometrischer Nichtlinearität (d. h. Membranwirkung) und ein angenommenes viskoses Dämpfungsmodell.

Beachten Sie jedoch, dass die von den reduzierten Modellen und dem numerischen Referenzmodell bereitgestellten Glasdehnungskurven sehr ähnlich sind, was darauf hindeutet, dass die Abweichungen auf Vereinfachungen zurückzuführen sind, die in beiden Modellen vorgenommen wurden. Es sei daran erinnert, dass sowohl die reduzierten Modelle als auch das numerische Referenzmodell ein viskoses Dämpfungsmodell verwenden (im Gegensatz beispielsweise zu einem Reibungsmodal) und darüber hinaus den dynamischen Luftdruck in den Impaktorreifen ignorieren. Man kann daher davon ausgehen, dass diese Vereinfachungen oder andere unbekannte Fehler die Ursache für die Abweichungen sind.

Die Dämpfungsmatrix der Glasunterkonstruktion wurde mittels Rayleigh-Dämpfung aufgebaut, wobei sowohl massen- als auch steifigkeitsproportionale Dämpfung zum Einsatz kam. Dieses Dämpfungsmodell ist praktisch, da es sowohl im physikalischen als auch im modalen Bereich verwendet werden kann. Es ist jedoch zu beachten, dass ein Dämpfungsmodell, das proportional zur Strukturmasse ist, eindeutig unphysikalisch ist (siehe z. B. [29]). Möglicherweise wird ein verfeinertes Dämpfungsmodell entwickelt. Darüber hinaus kann durch weitere experimentelle Untersuchungen die Frequenzabhängigkeit der Glasscheibe sowie die Impaktordämpfung untersucht werden.

Für die Glasscheibe mit einer Dicke von 8 mm weicht die Form der Dehnungskurve des numerischen Referenzmodells von den Kurven ab, die mit den anderen Modellen erhalten wurden. Der Puls ist kürzer, während die Spitzendehnung ziemlich nahe an der Spitzendehnung der anderen Kurven liegt. Da die Abweichung bei der 8-mm-Glasplatte ausgeprägt ist, deren Biegesteifigkeit erheblich geringer ist als bei den dickeren Platten, kann man mit Recht behaupten, dass diese Diskrepanz auf die Membranwirkung zurückzuführen ist, die sich in einer steiferen Reaktion (dh einem kürzeren Impuls) äußert. Denken Sie daran, dass die geometrische Nichtlinearität im numerischen Referenzmodell berücksichtigt wird, während diese Effekte in den Modellen reduzierter Ordnung ignoriert werden.

Allerdings würde man dann erwarten, dass die gemessenen Dehnungen näher an den Dehnungen des Referenzmodells liegen, was die experimentellen Daten jedoch nicht vermuten lassen. Dennoch kann der Einfluss der Membranwirkung einer der Gründe für die Diskrepanz sein. Die Steifigkeit der Gummistreifen entlang der Stützen, modelliert durch elastische Federbetten, beeinflusst den Einfluss der Membranwirkung. Als besonders unsicherer Parameter kann die Steifigkeit der Gummistreifen (und insbesondere die Steifigkeit in der Ebene) angesehen werden, die durch die Vorspannkraft aufgrund der Verschraubung der Glasscheiben beeinflusst wird. Daher wird der Einfluss der Membranwirkung vom Referenzmodell möglicherweise nicht genau erfasst, selbst wenn die geometrische Nichtlinearität berücksichtigt wird. Darüber hinaus ist es plausibel, dass die Steifigkeit der Gummistreifen tatsächlich nichtlinear ist, z. B. aufgrund der Reibung zwischen dem Gummi und der Glas-/Stahloberfläche.

Abschließend sei darauf hingewiesen, dass die vorgestellten Modelle reduzierter Ordnung auch zur Analyse von Verbundglas verwendet werden können, sofern die Reaktion der Glasscheiben als linear angenähert werden kann.

Der Artikel stellt Strategien für die Modellierung reduzierter Ordnung von Glasplatten vor, die einem Weichkörperstoß ausgesetzt sind. Ziel war die Entwicklung genauer Modelle reduzierter Ordnung zur Berechnung der elastischen Reaktion vor dem Ausfall, die für die Implementierung in benutzerfreundliche interaktive Designtools geeignet sind. Es wurden Konzepte zur reduzierten Modellierung der Glasscheibe, des Impaktors und der Kontaktwechselwirkung zwischen Glasscheibe und Aufprallkörper untersucht. Insbesondere wird eine Methodik zur Kalibrierung eines nichtlinearen SDOF-Modells vorgeschlagen, das den Impaktor darstellt. Darüber hinaus wurde eine Modellvalidierung basierend auf experimentellen Tests und einem detaillierten numerischen Referenzmodell durchgeführt. Darüber hinaus wurde eine DS-Methode mit fester Schnittstelle, die Korrekturmodi nutzt, erfolgreich zur Entwicklung rechnerisch effizienter Modelle des gekoppelten Impaktor-Glas-Systems eingesetzt. Folgende Schlussfolgerungen lassen sich ziehen:

Linus Andersson: Konzeptualisierung, Methodik, Untersuchung, Validierung, Software, formale Analyse, Schreiben – Originalentwurf, Schreiben – Überprüfung und Bearbeitung.Marcin Kozłowski:Konzeptualisierung, Untersuchung, Validierung, Schreiben – Überprüfung und Bearbeitung, Finanzierungsakquise.Peter Persson:Konzeptualisierung, Untersuchung, Validierung, Schreiben – Überprüfung und Bearbeitung.Per-Erik Austrell:Konzeptualisierung, Validierung, Schreiben – Überprüfung und Bearbeitung.Kent Persson:Konzeptualisierung, Untersuchung, Validierung, Software, Schreiben – Überprüfung und Bearbeitung, Finanzierungsakquise.

Die Autoren erklären, dass ihnen keine konkurrierenden finanziellen Interessen oder persönlichen Beziehungen bekannt sind, die den Anschein erwecken könnten, dass sie die in diesem Artikel beschriebene Arbeit beeinflusst hätten.

Finanzielle Unterstützung durch das Reconcile-Projekt, ein Teil des EU-Programms Interreg IVA, und die schwedischen Glasverbände; Wir danken Glasbranschföreningen, Svensk Planglasförening und Balkongföreningen i Norden. Å Forsk Foundation wird für die Finanzierung des Teils mit der experimentellen Kampagne gedankt, Förderreferenz: NEIN. 18-510.